К оглавлению

Радуга в бесцветном камне.

Васильев А. В.

Предисловие

Статья, посвящённая количественной оценке цветовой игры огранённого камня, была завершена в 1991 году. В то время в России не было изданий, которые могла бы заинтересовать статья о драгоценных камнях. Но благодаря личному участию Юлии Петровны Солодовой, статья увидела свет в 1995 году в трудах Вроцлавского университета (Польша) [9].

Сейчас, Вашему вниманию предлагается переработанный и дополненный вариант той статьи. В него внесены следующие изменения:

  1. Исправлены грамматические ошибки и ошибки в символах, возникшие из-за того, что статья публиковалась в Польше на русском языке.
  2. Более подробно объяснены некоторые места (вывод некоторых формул и рисунки 4 и 7).
  3. Добавлен абзац о неплоских гранях. Этот вопрос неоднократно поднимался при обсуждениях статьи [9].
  4. Добавлен абзац по поводу ошибки в публикации “Modeling the Appearance of The Round Brilliant Cut Diamond: An Analysis of Fire, and More About Brilliance, Gems & Gemology, Fall 2001”. Зависимость дисперсии луча от угла выхода его из камня уже освещалась в геммологической литературе, например: цикл статей M. Elbe в немецком журнале Zeitscrift der Deutschen gemmologischen Gesellschaft в начале 70-х годов прошедшего века.

Логика статьи, порядок изложения, выводы, результаты, таблица и все цифры оставлены неизменными.

Радуга в бесцветном камне.

Начало интереса человека к драгоценным камням теряется во мгле времён. Археологические раскопки показывают, что они занимали значительное место в культуре уже в IV тысячелетии до нашей эры. Однако огранка плоскими гранями возникла только около 1400 г. н. эр. Это событие произвело переворот в мире драгоценных камней, выведя на первое по ценности место прозрачные и даже бесцветные камни, и сыграло решающую роль в судьбе алмаза, превратив его из просто твердой диковинки в царя драгоценных камней. Дело в том, что природные кристаллы алмаза, чаще всего, имеют форму октаэдра, и, поэтому, совершенно лишены присущей огранённому камню способности, разлагать белый свет в радугу.

Классический бриллиантовый орнамент граней

Стихийное, методом проб и ошибок, развитие формы огранки привело к возникновению в XVIII веке бриллиантового стиля. Эта форма огранки, дошедшая до наших дней и ставшая классической, отличается чётным числом основных граней павильона и коронки (рис. 1), что связано с формой природных октаэдрических кристаллов алмаза и относительной легкостью деления углов пополам. Наиболее известной (хотя и не первой) серьёзной попыткой математически обосновать уже найденные к тому времени эмпирически пропорции явилась работа Марселя Толковского "Diamond design", вышедшая в 1919 г [1, 11]. Несмотря на ошибки, допущенные в основных предпосылках [2, 11], рассчитанные им пропорции и углы наклона основных граней оказались удачными и были признаны идеальными во многих странах. Сейчас такие расчёты становятся особенно актуальными для других материалов в связи с расширением ассортимента минералов, используемых в ювелирном деле и появлением новых синтетических кристаллов, часто превосходящих природные по оптическим свойствам.

Привлекательность бесцветных и слабоокрашенных камней определяется цветными огнями, возникающими на гранях камня и меняющими цвет при его поворотах. Способность даже бесцветного огранённого камня окрашивать выходящие из него лучи называется fire - огонь. Наиболее подходящий для этого явления термин в русском языке - игра камня. Именно в этом смысле мы будем использовать его далее. Давайте рассмотрим, откуда появляется цвет и как достичь его максимальной насыщенности.

Зависимость насыщенности наблюдаемого цвета от его доминирующей длины волны при различных величинах выделенного интервала длин волн Δλ.

Известно, что белый цвет сложный и состоит из других цветов. Более того, традиционные источники света, такие как солнце, лампочка накаливания и другие, сильно нагретые тела, излучают непрерывный спектр, из которого глаз может воспринимать излучения с длинами волн, лежащими в диапазоне 380 - 760 нанометров, другими словами – от фиолетового до красного цветов. Всё это излучение воспринимается в совокупности как белый или почти белый свет. Ощущение отличающегося от белого цвета может возникнуть, если из всего видимого спектра выделить излучение с некоторыми длинами волн. Наиболее насыщенный цвет мы увидим, когда на сетчатку глаза будет попадать излучение, длины волн которого лежат в очень узком спектральном интервале. Так как величина этого интервала определяется в первую очередь параметрами огранённого камня, нам надо сначала определить, насколько узким он должен быть, чтобы наблюдатель увидел чистый цвет. Используя функции сложения стандартного колориметрического наблюдателя, принятые в 1931 году на VIII сессии МКО (Международная Комиссия по Освещению – CIE – Commission International de l’Eclairage) можно пересчитать любой спектральный состав излучения в цвет [3], в том числе рассчитать цвет и его насыщенность при попадании в глаз наблюдателя излучения в фиксированном интервале длин волн. Зависимости насыщенности (Saturation) наблюдаемого цвета P от его доминирующей длины волны λ при различных величинах выделенного интервала длин волн Δλ приведены на рис.2. Для построения этих зависимостей мы выделяли из всех длин волн интервал фиксированной ширины и передвигали его через весь видимый диапазон, определяя для каждого его нового положения значения λ и P. При этом следует иметь в виду, что в общем случае отложенное по оси абсцисс значение λ не совпадает ни с серединой выделенного интервала Δλ ни с его концами, но принадлежит ему и характеризует цветовой тон наблюдаемого цвета.

Для расчётов был использован спектральный состав прямого солнечного освещения (источник "В" ГОСТ 7721-76), хотя следует отметить, что на результат наших оценок выбор источника сильно не влияет. Из рисунка видно, что при увеличении интервала Δλ в первую очередь страдает насыщенность зелёных лучей. Именно на этот диапазон приходится максимум чувствительности глаза к изменениям насыщенности цвета. Так цветовой стандарт DIN 6164 (ФРГ) предусматривает для зелёного цвета 17 градаций, а цветовая система Манселла (США) - 15 градаций насыщенности, причем два соседних уровня с наибольшей насыщенностью различаются на 10 - 20 %. Для малонасыщенных цветов это различие составляет примерно 5%. Таким образом, давайте считать, что цвета с насыщенностью более 80 % глаз воспринимает как вполне чистые, а менее 5% как лишённые окраски. Из рисунка 2 видно, что при Δλ < 50 нм, все лучи оказываются хорошо окрашенными, а при Δλ > 200 нм, совершенно исчезают зелёные цвета. Примечательно, что синие и красные цвета имеют высокую насыщенность даже при очень больших величинах Δλ, однако этот факт не должен вводить в заблуждение. Дело в том, что насыщенные синие и красные цвета наблюдаются, когда один из концов выделенного диапазона Δλ оказывается за пределами видимого диапазона длин волн. В этом случае, воспринимаемый глазом цвет определяется шириной только части Δλ, лежащей в видимой области спектра. Интенсивность таких синих и красных лучей намного ниже слабоокрашенных лучей других окрасок, а вероятность наблюдения их становится ничтожной.

Разложение луча в спектр при прохождении им клина вещества

Чтобы выделить интервал длин волн Δλ, нужно пространственно разделить излучения с разными длинами волн. Для этого можно воспользоваться явлением интерференции, которая обуславливает цветовую игру перламутра, благородного опала или иризирующих полевых шпатов, или дисперсии, которая обеспечивает игру ограненного камня. При прохождении луча света через клин вещества (рис.3) происходит изменение направления его распространения – преломление. Причём величина этого преломления тем больше, чем больше показатель преломления вещества n. Благодаря взаимодействию излучения с веществом, в прозрачных средах показатель n зависит от длины волны, возрастая с её уменьшением. Такое изменение называется дисперсией Δn, которая выражается разностью n для фиолетового (Фраунгоферова линия G 431 нм) и красного (линия B 687 нм) концов спектра. Величина Δn для различных материалов приведена в следующей таблице.

Материал n Дисперсия Δn Угловая дисперсия призмы[град/мкм]
1Рутил 2,750,28 27
2Титанат стронция 2,410,19 26
3Ниобат лития 2,300,12 14
4Касситерит 2,050,071 11
5Андрадит 1,890,057 10
6Фианит 2,170,06 9
7ГГГ 2,030,038 5,2
8Алмаз 2,420,044 4,6
9ИАГ 1,830,028 4,5
10Шпинель 1,730,02 3,7
11Турмалин 1,630,017 3,4
12Корунд 1,770,018 3,2
13Берилл 1,570,014 3
14Кварц 1,540,013 2,9

Из таблицы видно, что ограночные материалы сильно различаются величиной своей дисперсии. Именно она в первую очередь обуславливает угловую ширину цветового "веера", в который расщепляется белый луч.

Значения показателя преломления итрий алюминиевого граната для различных длин волн

Показатель преломления не линейно зависит от длины волны (рис. 4) [4].В синих и фиолетовых лучах он растёт с уменьшением длины волны намного быстрее, чем в других областях спектра. Эту зависимость для видимой области спектра иногда описывают набором гипербол:

n = A + BL + CL2 + DL3 + FL4, где L = 1/(λ2 -0,028)

Такое поведение кривой n(λ) определяется близостью края собственного ультрафиолетового электронного поглощения. Мы пренебрежём этой особенностью для упрощения дальнейших оценок. Способность призмы разлагать белый луч на его составляющие количественно характеризуют величиной, называемой угловой дисперсией призмы, и выражают в град./мкм.

Рассмотрим глаз наблюдателя (рис. 3), сфокусированный на ближнюю к нему грань призмы, т. е. разглядывающий призму. При этом на сетчатке глаза образуется чёткое изображение этой грани, а каждой точке грани соответствует своя точка на сетчатке. На рисунке показан ход лучей через одну такую точку на грани призмы. Выходящий из неё луч расщепляется на веер лучей разного цвета. На самом деле, луч расщепляется уже на входе его в призму, но, так как расщепление на входе обычно меньше выходного, а размеры призмы малы по сравнению с расстоянием от неё до глаза, мы пренебрегаем сейчас входным расщеплением. Если в зрачок глаза попадёт весь этот «веер», то так как он вышел из одной точки грани, он и соберётся хрусталиком на сетчатке в одну точку белого цвета. Если размер веера в месте нахождения глаза превышает размер зрачка, то в данную точку сетчатки попадёт только часть «веера», которую вырезал из него зрачок. Наблюдатель может находиться на различном расстоянии от камня, поэтому вместо линейного размера зрачка удобнее пользоваться его угловым размером, т. е. углом, под которым из камня виден диаметр зрачка. Таким образом, если угловой размер цветового «веера» превышает угловой размер зрачка, то из всего видимого спектра в данную точку сетчатки попадёт только часть излучения с некоторыми отдельными длинами волн. Понятно, что чем выше угловая дисперсия призмы и уже зрачок, тем уже и вырезаемый из всего спектра интервал длин волн Δλ, и, соответственно, насыщеннее наблюдаемый цвет. Так как разглядывание камня обычно осуществляется при хорошем освещении и на удобном расстоянии, можно принять диаметр зрачка глаза равным 3 мм, а его удаление от камня равным расстоянию нормального зрения, то есть 25 см. Тогда угловой размер зрачка составит 0,7 градуса. Чтобы при таком его размере выделить интервал Δλ = 50 нм и, таким образом, получить чистые цвета, угловая дисперсия камня должна быть не хуже 14 град/мкм. При дисперсии менее 3,5 град/мкм, зелёные цвета пропадают совсем, а остальные наблюдаются весьма редко. Отметим, что игра усиливается при удалении камня от наблюдателя и уменьшается при ослаблении освещённости сопровождающейся расширением зрачка глаза.

Всё описанное выше справедливо только для случая падения на призму плоской световой волны. Такое излучение обеспечивает точечный источник света, т. е. источник, расстояние от призмы до которого много больше его размеров или, другими словами, источник с малыми угловыми размерами. Для протяжённого источника лучи, испускаемые различными его участками, и приходящие на призму с разных направлений будут смешивать свои цвета на сетчатке глаза, ухудшая чистоту наблюдаемого цвета. Таким образом, для хорошей игры совершенно необходимо, чтобы камень освещался источником света с малыми угловыми размерами. Угловой размер источника света влияет на чистоту наблюдаемого цвета примерно так же, как и угловой размер зрачка глаза наблюдателя. Так как угловой размер солнца, лампы или свечи не превышает 0,5 градуса, игра камня определяется, главным образом, угловым размером зрачка. Очень хорошо бесцветные камни играют под лучами солнца, еще лучше при использовании многочисленных точечных источников, например люстры с большим количеством ламп без рассеивающих матовых плафонов или канделябра со свечами. Тогда число цветовых "вееров", выходящих из камня возрастает во столько раз, сколько имеется источников света. При рассеянном свете пасмурного неба игра огранённого камня пропадает совсем. Все это необходимо иметь в виду тем, кто занимается продажей камней, их рекламой или подбирает украшения на сегодняшний вечер.

До сих пор мы рассматривали призму с идеально плоскими гранями. Она имеет два недостатка, которые можно попытаться устранить, применив изогнутые поверхности.

  1. Если видимый угловой размер грани больше углового размера источника света, сверкать будет только та её часть, через которую непосредственно виден источник.
  2. Изображение источника видимое через призму растягивается в радугу и меняет цвет, от одного его края к другому. Для лучшего ощущения цвета желательна однородная окраска грани.
Если непосредственно перед призмой и после неё поместить соответствующие выпуклые линзы, так, чтобы источник света и зрачок глаза находились в их передней и задней фокальных плоскостях, то светлой и однородно окрашенной будет вся поверхность грани. Однако такая система настроена только на фиксированные расстояния. Замена линз соответствующим искривлением поверхностей призмы (граней камня) приводит к сильному астигматизму. Кроме того, радиусы кривизны таких поверхностей должны быть весьма большими, соизмеримыми с расстоянием от наблюдателя до камня. При огранке реального камня неизбежна кривизна поверхностей его граней, связанная с конечной жёсткостью ограночной головки, шпинделя станка и материала полировальника. Эта неконтролируемая кривизна обычно превышает желаемую. Поэтому для повышения игры камня, огранщику следует стараться получать максимально плоские грани.
Преломление луча

С оптической точки зрения огранённый камень представляет собой набор преломляющих клиньев вещества. Один из таких клиньев изображён на рис 5. Угловая дисперсия такого клина зависит от угла входа и, соответствующего ему угла выхода луча из поверхности клина. Её можно рассчитать по следующей формуле, вывод которой приведён в [5]:

формула

где Φ – угол при вершине призмы, ψ - угол входа луча в призму (внутри призмы), φ - угол выхода луча из призмы. Таким образом, мы видим, что угол раскрытия цветового веера пропорционален дисперсии вещества и синусу угла при вершине клина, т. е. растёт с ростом этого угла. Пользоваться этим выражением довольно неудобно, а рассчитывать угловую дисперсию dφ/dλ проще всего численно.

Рисунок 6

Для примера на рисунке 6 представлены зависимости угловой дисперсии клина из фианита от угла выхода j излучения из его грани, рассчитанные для четырёх различных углов Φ при вершине такого клина. При увеличении φ до 90 градусов, угловая дисперсия сильно возрастает, а минимум ее лежит вблизи (но не совпадает!) φ = 0. Причём последний случай как раз наиболее важен, так как именно под этим углом наблюдается площадка или боковая грань коронки при рассматривании камня перпендикулярно площадке или при небольшом его наклоне. Если нам удастся обеспечить для этого случая угловую дисперсию 14 град/мкм, то все вышедшие из камня лучи будут иметь чистые цвета. Резкое возрастание дисперсии при больших углах выхода луча из камня объясняет, почему игра пусть редко, но проявляется при некоторых поворотах даже в неудачно огранённых камнях и в камнях из материалов с низкими оптическими константами. Предложены специальные формы огранки, например импариант [6], специально рассчитанные на большие углы выхода света в воздух, но игру таких лучей можно наблюдать только, глядя на грань вскользь, почти вдоль ее поверхности, поэтому мы не будем сейчас рассматривать такие решения.

Линия А, соответствующая минимальным φ, ограничивает область возможных углов выхода излучения. Если угол при вершине призмы превышает предельный угол полного внутреннего отражения , никакой вошедший в призму луч не может перпендикулярно выйти из её грани. А ведь мы расположили наблюдателя как раз перпендикулярно площадке! Таким образом, угол Φ = γ является наибольшим допустимым для вершины преломляющего клина. Отметим, что при Φ > 2γ, вообще никакой луч не может пройти через клин. В последнем столбце таблицы приведены минимальные значения угловой дисперсии призмы вещества с углом γ при вершине. Именно по этому параметру выстроены приведённые в таблице кристаллы. Видно, что только первые три синтетические материала могут обеспечить идеальную игру. Действительно, хорошо огранённый рутил игрой цветов подобен благородному опалу. Существуют и природные минералы с такими же оптическими, но низкими механическими свойствами, например сфалерит. Материалы с четвертого по девятый номер проявляют игру с разной степенью насыщенности цветов, причем алмаз занимает там отнюдь не первое место. Кто сомневается, посмотрите на бриллиант - зелёные цвета в его игре вы увидите очень редко. По-видимому, привлекательность его определяется главным образом высоким совершенством полировки граней и их плоскостностью, обусловленной высокой жёсткостью чугунного полировальника. Последние четыре минерала из таблицы, и, к сожалению, им подобны большинство природных камней, способны окрашивать только некоторые выходящие лучики. Поэтому, огранщик должен стараться максимально увеличить их игру.

Обратите внимание, что лучи выходящие из призмы под большими углами к её поверхности (правая часть рисунка 6) расщепляются во много раз сильнее, чем лучи вошедшие в призму под большими углами (левая часть рисунка 6). Другими словами, луч, прошедший через призму путём ABCD (рис. 5) имеет угловую дисперсию большую, чем луч DCBA. Незнание этого факта приводит иногда к очень досадным ошибкам, например, сводит на нет полезность результатов исследования игры камня опубликованных в [7]. Так, там игра камня оценивается по лучикам, вышедшим из камня во всех направлениях ограниченных верхним полупространством. То есть наблюдатель распределён по пространству, причём, для каждого луча он находится в своём отдельном месте, а источник светит на камень перпендикулярно площадке. При этом авторы [7] убеждены, что они рассматривают камень перпендикулярно площадке. В действительности эти два случая очень сильно различаются. Более того, можно утверждать, что те лучи, которые при освещении камня перпендикулярно площадке имеют максимальную игру, при разглядывании камня перпендикулярно площадке (т. е. при прохождении света в обратном направлении), будут отвечать слабо окрашенным бликам на его поверхности! Строго говоря, различие этих случаев зависит от соотношения угловых размеров глаза наблюдателя и источника света, которые, вообще говоря, не равны. Точный количественный учёт обоих размеров требует применения интегралов свёртки и выходит за рамки данной статьи.

Три способа прохождения луча через огранённый камень

Теперь рассмотрим, через какой же клин вещества проходит луч в реальном камне и как увеличить угол при его вершине. С этой целью можно проследить путь через камень различных лучей, правильно учитывая их переотражения. Это очень кропотливая работа, требующая внимания, аккуратности и хорошего пространственного воображения. Вместо этого мы воспользуемся более красивым способом. Заменим отражение луча его прохождением в мнимый зеркально отражённый камень (рис. 7). Если рассматриваемый камень зеркально симметричен, например круглой огранки с чётным числом основных граней, то отражённый камень можно получить лишь поворотом исходного. После первого полного внутреннего отражения от грани павильона луч попадает в камень, обозначенный A’B’C’D’O, после второго – в камень, обозначенный A”B”C”D”O. Эта абсолютно корректная операция пригодна не только для плоской картинки, но и для любых объёмных построений. Однако, в случае отражения луча от грани не перпендикулярной плоскости чертежа, нельзя ограничиться поворотом камня только в его плоскости. Этот приём пригоден и для косых лучей и вообще для любых граней. Однако далее мы не будем рассматривать лучи испытывающие частичные внутренние отражения. Из рисунка, мы видим, что луч выходит наружу из камня, повёрнутого относительно исходного на угол δ = 4(45° - α).

При традиционном типе огранки возможны три основных пути прохождения света через камень:

  1. Вход в площадку и выход из неё же. При этом луч проходит через клин, образуемый отрезками CB и C”B”, угол при вершине которого, зависит только от угла наклона граней павильона a следующим образом:

    Φ1 = δ = 4(45° - α).

  2. Вход в площадку, а выход из грани коронки или наоборот. Тогда угол клина, ограничиваемый отрезками BC и D”C”, зависит ещё и от угла наклона граней коронки β:

    Φ2 = 4(45° - α) - β = δ - β.

  3. Проход только через грани коронки. Тогда клин ограничивается отрезками AB и D”C”:

    Φ3 = 4(45° - α) - 2β = δ - 2β.

Углы Φ могут быть как отрицательными, так и положительными – на игру камня влияет только их абсолютная величина. Важно не допустить, чтобы какой-нибудь из них был слишком маленьким. Иначе неокрашенные лучи прошедшего через него света "забьют" ослабленные френелевскими потерями окрашенные лучи, прошедшие через другие клинья, имеющие больший угол при вершине. Таким образом, мы не ставим задачи увеличить игру каких то отдельных лучей или игру камня при каком либо фиксированном положении источника света или наблюдателя. Мы ищем параметры огранки, при которых максимальна дисперсионная окраска наименее окрашенных выходящих из камня лучей в наиболее общем случае. При этом не фиксируется положение головы наблюдателя или источников света. Однако ограничения на них накладывает сама возможность прохождения через камень изображённых на рисунке 7 лучей, или другими словами выход наружу луча, испытавшего два полных внутренних отражения. Сейчас мы не будем останавливаться на других ограничениях на параметры огранки, с которыми можно подробно ознакомиться в [8, 9, 10]. Лучшим для нас решением, сохраняющим разумные пропорции камня, может быть увеличение по абсолютной величине углов Φ1 = – Φ2 до тех пор, пока лучи, вошедшие в площадку еще смогут выходить наружу через грани коронки, не испытывая на ней полного внутреннего отражения [8]. Для этого достаточно, выполнения условия β < γ + 90° – 2α. Тогда углы наклона граней верха и низа легко вычисляются через предельный угол полного внутреннего отражения γ = arcsin(1/n):

α = 45° - γ/6

β = 4/3γ

Φ1 = -Φ2 = 2/3γ

Интересно, что угол Φ3 при этом оказывается таким большим, что лучи через него не проходят. Потерь света при этом не происходит, просто грани коронки (как и рундист) никогда не видны через грани коронки. Обратите внимание на близость углов наклона α и β рассчитанных Толковским - 40,75° и 34,5° углам, вычисленным для алмаза по предложенным выше формулам - 40,9° и 32,5°. Угол при вершине преломляющей призмы в рассчитанном камне оказывается на треть меньше угла γ, для которого значения угловой дисперсии приведены в таблице. Пожертвовав яркостью, его можно увеличить, соблюдая соотношение α = 45° - β/8 (это условие равенства Φ1 = -Φ2), вплоть до величины γ, тогда углы наклона основных граней должны быть в пределах:

α > 45° - γ/4

β < 2γ

К сожалению, при показателе преломления меньшем 1,67 прозрачность граней павильона накладывает ограничения на угол их наклона, который должен, по крайней мере, на два градуса превышать предельный угол полного внутреннего отражения. Поэтому игру лучей, прошедших путём площадка - площадка для материалов с низким показателем преломления не удается сделать достаточно большой, зато остальные лучи проходят через клин вещества с углом, приближающимся к γ, и данные таблицы для них остаются справедливыми. Угол β в этом случае определяется следующим выражением:

β = 86° – γ.

Теряя яркость камня, для повышения дисперсии, β можно увеличивать, не превышая величины:

β = 172° – 3γ.

До сих пор мы рассматривали только углы наклона основных граней. Дополнительные клинья расположенные вблизи рундиста (см. рис.1), увеличивающие угол наклона граней коронки на несколько градусов, а граней павильона на 1° – 2°, усиливают игру и не приводят к дополнительным потерям света. Верхние клинья, окружающие площадку, наклонены значительно меньше основных граней и поэтому относительно плохо играют. Для увеличения угла наклона, их можно разбить надвое. Кроме традиционных форм огранки известны и другие формы, позволяющие значительно улучшить оптику камня, но их мы, возможно, рассмотрим в следующих публикациях.

Список литературы.

  1. Tolkowsky, M., 1919, Diamond Desine (London: E. & F. N. Spon).
  2. Bruce L. Harding, “Diamond Desine” Revisited
  3. Джадд Д., Вышецки Г., Цвет в науке и технике: Пер. с англ. /Под ред. Л. Ф. Артюшина. М.: Мир, 1978.
  4. Bond W. L. – J. Appl. Phys. 1965, v. 36, p.1674.
  5. Малышев В. И. Введение в экспериментальную спектроскопию. М.: Наука, 1979.
  6. Elbe, M., 1971, Z. dt. Gemmol. Ges., 20, 57.
  7. Ilene M. Reinitz and other, Modeling the Appearance of The Round Brilliant Cut Diamond: An Analysis of Fire, and More About Brilliance, Gems & Gemology, Fall 2001.
  8. Bruce L. Harding. 1975, Gems & Gemology, vol. 15, 3, p.78. Или здесь (на английском языке).
  9. Васильев А. В., Выбор углов наклона граней., 1995, Acta Universitatis Wratislaviensis No 1607, Prace geologiczno-mineralogiczne XLIV, p.143.
  10. Васильев А. В., Выбор углов наклона граней. На русском и английском языках.
  11. Джаспер Паулсен, переиздание книги Толковского с комментариями. На английском языке.
  12. Васильев А. В., Радуга в бесцветном камне на русском и английском языках.

К оглавлению Гостевая книга